Weighted gradient estimates and refined existence results for a Hardy-type elliptic equation

Abstract

Abstract We review Dirichlet-type problems of the form $$ -\Delta u=\lambda \frac{u}{|x|^2}+ g(\cdot ,\nabla u) \quad \text {in }\Omega ,\qquad u=0\ \text {on }\partial \Omega , $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$N\geqslant 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\Omega \subset \mathbb {R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is a bounded regular domain containing the origin, and $$0&lt;\lambda &lt; \Lambda _N=\left( \frac{N-2}{2}\right) ^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Λ</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , the optimal Hardy constant. We first consider the Hardy–Poisson problem, i.e., the case $$g(\cdot ,z)=f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with f in a weighted Lebesgue space, and we provide sharp weighted regularity estimates for the SOLA (solution obtained as the limit of approximations) of the linear problem. These results allow us to extend and refine earlier existence results for a KPZ-type problem. In particular, for nonlinearities of the form $$g(\cdot ,z)=|z|^q+\rho f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , with $$f\text { belonging to a suitable weighted } L^m\text {-space}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mtext>belonging to a suitable weighted</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msup> <mml:mtext>-space</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> , we establish the existence of a weak solution under suitable conditions on m and q , for $$\rho &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math>