Signature invariants of monomial ideals

Abstract

Abstract Let I be a monomial ideal of a polynomial ring $$R=K[x_1,\ldots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> over a field K , and let $$\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> be its signature ideal. If I is not a principal ideal, we show that the depth of R / I is the depth of $$R/\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and the regularity of $$R/\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is at most the regularity of R / I . For ideals of height at least 2, we show that the associated primes of I and $$\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> are the same, and we show that I is Cohen–Macaulay (resp. Gorenstein) if and only if $$\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is Cohen–Macaulay (resp. Gorenstein), and furthermore, we show that the v-number of $$\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is at most the v-number of I and compare the irreducible decompositions of I and $$\textrm{sgn}(I)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>sgn</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . We give an algorithm to compute the signature of a monomial ideal using Macaulay 2, and an algorithm to examine given families of monomial ideals by computing their signature ideals and determining which of these are Cohen–Macaulay or Gorenstein.