Extending Wavelet Regularity Beyond Gevrey Classes

Abstract

Abstract We present a general construction of smooth orthonormal wavelet $$\psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:math> which, together with its Fourier transform $$\widehat{\psi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> belongs to the extended Gevrey class $$\mathcal {E}_{\sigma }(\mathbb {R})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for $$\sigma &gt; 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , providing an example that lies beyond all classical Gevrey classes. Our approach uses the idea of invariant cycles to extend the initial Lemarié–Meyer support of the low-pass filter $$m_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> from $$ [-\frac{2\pi }{3}, \frac{2\pi }{3}]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> to $$ [-\frac{4\pi }{5}, \frac{4\pi }{5}]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . This extension allows precise control of the the decay rate of $$m_0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> near $$\frac{2\pi }{3}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:math> , which yields global decay estimates for $$\psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:math> and $$\hat{\psi }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> . In addition, the decay rates are described using special functions involving the Lambert W function, which plays an important role in our construction.