Symmetrization maps and minimal border rank Comon’s conjecture

Abstract

Abstract One of the fundamental open problems in the field of tensors is the border Comon’s conjecture : given a symmetric tensor $$F\in (\mathbb {C}^n)^{\otimes d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> for $$d\ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , its border and symmetric border ranks are equal. In this paper, we prove the conjecture for large classes of concise tensors in $$(\mathbb {C}^n)^{\otimes d}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> of border rank n , i.e., tensors of minimal border rank. These families include all tame tensors and all tensors whenever $$n\le d+1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Our technical tools are border apolarity and border varieties of sums of powers.