Clifford(11,1) String Theory I: Geometry

Abstract

Abstract This paper explores tachyonic, open bosonic string theory in which fermions are not strings, but rather reside on the D-brane boundary of open strings. The open-string tachyon is identified with a Higgs field transforming in the adjoint representation. The fermions of a generation of the standard model, including both internal and Weyl degrees of freedom, occupy a spinor representation of $$\text {Spin}(11,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Spin</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and the Brauer-Weyl algebra of tensor products of the spinors is the Clifford algebra $$\text {Cl}(11,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> in 11+1 dimensions. The Chan-Paton condition that open strings transform in a tensor representation of the fermions at its endpoints requires the gauge group to be the group $$G^2(10) = \text {U}(16)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mtext>U</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> generated by multivectors of grade 2 (mod 4) of the transverse Clifford algebra $$\text {Cl}(10)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Cl</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>10</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The $$\text {U}(1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>U</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> factor of $$\text {U}(16)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>U</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> generates a transverse spatial rotation of the 3+1 large spacetime dimensions, leaving as internal gauge group the rank 15 subgroup $$\text {SU}(16)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . The 11+1 dimensions of the fermionic D-brane and the 15 dimensions of the bosonic torus combine to a total of $$12{+}15 = 27$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>15</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>27</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> dimensions, one more than the 26 dimensions required by bosonic string theory. Grand symmetry breaking breaks $$\text {SU}(16)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>16</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> to the rank 14 group $$\text {SU}(8)_R \times \text {SU}(8)_L$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mtext>SU</mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , yielding a spacetime of $$12{+}14 = 26$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>12</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>14</mml:mn> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>26</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> dimensions, as required by bosonic string theory. After Pati